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El manual abarca todos los temas de los que constan los cursos de matemáticas superiores, desde el análisis matemático y el álgebra hasta la lógica matemática y la geometría diferencial, incluyendo la geometría analítica, la teoría de funciones de variable compleja, la teoría de ecuaciones diferenciales, el cálculo variacional, el análisis vectorial y tensorial, la teoría de probabilidades, la estadística matemática, la teoría de conjuntos y los métodos numéricos. Además del material teórico, el manual contiene más de 500 ejemplos con soluciones detalladas. El método de exposición y el volumen de la información contenida hacen de este manual una excelente guía para el estudio de las matemáticas superiores y, a su vez, colocan esta obra al nivel de los más famosos manuales (Bronshtéin y Semendiáev, Korn, Vygodskii, etc). Este libro está dirigido a los estudiantes universitarios, estudiantes de posgrado, profesores de centros de enseñanza universitaria y técnica superior.Índice1 Números reales. Álgebra 1.1. Números reales 1.1.1. Propiedades de los números reales 1.1.2. Continuidad del conjunto de los números reales 1.1.3. Valor absoluto 1.1.4. Constantes utilizadas frecuentemente 1.1.5. Representación geométrica de números y conjuntos numéricos 1.1.6. Cotas de conjuntos numéricos 1.2. Nociones de álgebra elemental. Logaritmos. Progresión aritmética y progresión geométrica 1.2.1. Potencias y raíces 1.2.2. Fórmulas utilizadas frecuentemente 1.2.3. Valores medios 1.2.4. Algunas desigualdades notables 1.2.5. Algunas sumas finitas notables 1.2.6. Proporciones 1.2.7. División de polinomios 1.2.8. Ecuaciones algebraicas 1.2.9. Logaritmos 1.2.10. Progresión aritmética 1.2.11. Progresión geométrica 1.3. Matrices y determinantes. Sistemas de ecuaciones lineales 1.3.1. Matrices y determinantes 1.3.2. Operaciones con matrices 1.3.3. Rango de una matriz 1.3.4. Matrices con propiedades especiales 1.3.5. Sistema de ecuaciones lineales 2 Sistemas de coordenadas. Álgebra vectorial. Tensores. Espacios vectoriales 2.1. Sistemas de coordenadas rectangulares 2.1.1. Sistema de coordenadas rectangulares en el plano 2.1.2. Sistema de coordenadas rectangulares en el espacio 2.2. Sistemas de coordenadas curvilíneas 2.2.1. Coordenadas polares 2.2.2. Sistemas de coordenadas curvilíneas en el espacio 2.3. Álgebra vectorial 2.3.1. Conceptos fundamentales 2.3.2. Multiplicación de un vector por un número y adición de vectores 2.3.3. Producto escalar de vectores 2.3.4. Producto vectorial 2.3.5. Producto mixto 2.4. Cambio de coordenadas 2.4.1. Transporte paralelo de un sistema de coordenadas 2.4.2. Giro de un sistema de coordenadas 2.5. Tensores 2.5.1. Conceptos fundamentales 2.5.2. Álgebra tensorial 2.5.3. Propiedades de los tensores simétricos de segundo rango 2.6. Espacios vectoriales 2.6.1. Definición de espacio vectorial 2.6.2. Dependencia lineal de vectores 2.6.3. Base de un espacio. Coordenadas de un vector 2.6.4. Espacios vectoriales euclídeos 2.7. Espacio de Hilbert 2.8. Transformación de las coordenadas de un vector al cambiar de base 2.9. Aplicaciones lineales (operadores lineales) 2.10. Valores propios y vectores propios de una matriz 2.11. Formas cuadráticas 2.11.1. Reducción de una forma cuadrática a la forma canónica 2.11.2. Clasificación de las formas cuadráticas 2.11.3. Reducción simultánea de dos formas cuadráticas a sumas de cuadrados 3 Geometría analítica 3.1. Geometría analítica en el plano 3.1.1. Método de coordenadas 3.1.2. Fórmulas fundamentales 3.1.3. Transformación de coordenadas cartesianas 3.1.4. La recta 3.1.5. Posición relativa de dos rectas 3.1.6. Curvas de segundo orden (secciones cónicas) 3.2. Geometría analítica en el espacio 3.2.1. Ecuación de una superficie y ecuación de una línea 3.2.2. Fórmulas fundamentales en coordenadas cartesianas 3.2.3. El plano 3.2.4. La recta 3.2.5. Posición relativa de puntos, rectas y planos 3.2.6. Superficies de segundo orden 4Conceptos fundamentales del análisis matemático 4.1. Función real de una variable real 4.1.1. Definición de función 4.1.2. Métodos de definición de una función 4.1.3. Propiedades de las funciones. Funciones con propiedades especiales 4.2. Sucesiones numéricas 4.2.1. Límite de una sucesión numérica 4.2.2. Criterios de existencia del límite 4.2.3. Propiedades fundamentales de las sucesiones convergentes 4.2.4. El número e 4.2.5. Sucesiones infinitesimales y sucesiones infinitas 4.2.6. Indeterminaciones 4.2.7. Punto límite de una sucesión 4.3. Límite de una función 4.3.1. Definición de límite 4.3.2. Criterio de Cauchy de existencia del límite finito de una función 4.3.3. Límites unilaterales 4.3.4. Funciones infinitesimales y funciones infinitas 4.3.5. Operaciones aritméticas con límites 4.4. Relaciones asintóticas entre funciones 4.5. Continuidad de una función 4.6. Puntos de discontinuidad de una función. Clasificación de los puntos de discontinuidad 5 Cálculo diferencial de funciones de una variable 5.1. Derivada. Interpretación geométrica de la derivada 5.1.1. Definición de derivada 5.1.2. Interpretación geométrica de la derivada 5.1.3. Derivadas unilaterales de una función 5.1.4. Reglas de derivación 5.1.5. Derivadas de algunas funciones elementales 5.1.6. Derivada infinita 5.1.7. Derivación de funciones implícitas 5.2. Diferencial de una función 5.3. Derivada de la función inversa 5.4. Derivación de una función parametrizada 5.5. Derivadas y diferenciales de órdenes superiores 5.5.1. Derivadas de órdenes superiores 5.5.2. Fórmula de Leibniz 5.5.3. Diferenciales de órdenes superiores 5.5.4. Invariancia de la forma de la diferencial primera 5.6. Extremos. Teoremas de Fermat, Rolle, Lagrange y Cauchy 5.6.1. Extremo 5.6.2. Teorema de Fermat (condición necesaria de extremo local de una función derivable) 5.6.3. Teorema de Rolle 5.6.4. Teorema de Lagrange 5.6.5. Teorema de Cauchy 5.6.6. Corolarios del teorema de Lagrange 5.6.7. Derivada de una función par (impar) 5.7. Fórmula de Taylor. Cálculo de límites 5.8. Eliminación de indeterminaciones. Regla de L'H^opital 5.8.1. Eliminación de indeterminaciones del tipo 0/0 5.8.2. Eliminación de indeterminaciones del tipo oo/oo 5.8.3. Eliminación de indeterminaciones de los tipos 0 oo, oo--oo, 00, 1oo, oo0 5.9. Crecimiento y decrecimiento de una función. Convexidad y concavidad de una curva. Puntos de inflexión 5.9.1. Condición suficiente de crecimiento (decrecimiento) de una función 5.9.2. Convexidad y concavidad de una curva 5.9.3. Puntos de inflexión 5.10. Búsqueda de máximos y mínimos de una función 5.10.1. Condiciones necesarias de existencia de un extremo (máximo o mínimo) local de una función 5.10.2. Condiciones suficientes de existencia de un extremo local estricto 5.10.3. Búsqueda de extremos absolutos 5.11. Asíntotas del gráfico de una función 5.12. Construcción del gráfico de una función 6 Funciones elementales 6.1. Función exponencial 6.2. Función logarítmica 6.3. Funciones hiperbólicas 6.3.1. Seno hiperbólico 6.3.2. Coseno hiperbólico 6.3.3. Tangente hiperbólica 6.3.4. Cotangente hiperbólica 6.3.5. Funciones hiperbólicas inversas 6.3.6. Principales relaciones entre las funciones hiperbólicas 6.4. Función potencial 6.5. Funciones trigonométricas 6.5.1. Definición de las funciones trigonométricas 6.5.2. Propiedades de las funciones trigonométricas 6.5.3. Valores de las funciones trigonométricas para valores notables del argumento 6.5.4. Fórmulas de reducción 6.5.5. Relaciones entre funciones trigonométricas de un mismo argumento 6.5.6. Funciones trigonométricas del ángulo mitad y de ángulos múltiplos 6.5.7. Funciones trigonométricas de la suma y diferencia de dos argumentos 6.5.8. Suma, diferencia y producto de funciones trigonométricas 6.5.9. Potencias de funciones trigonométricas 6.5.10. Funciones trigonométricas inversas 6.5.11. Ecuaciones trigonométricas 7 Cálculo integral de funciones de una variable 7.1. Primitiva. Integral indefinida 7.1.1. Función primitiva 7.1.2. Integral indefinida 7.1.3. Propiedades de la integral indefinida 7.1.4. Tabla de integrales inmediatas 7.1.5. Métodos elementales de integración 7.1.6. Integración de funciones racionales 7.1.7. Integración de algunas expresiones irracionales 7.1.8. Integración de funciones trigonométricas, exponenciales e hiperbólicas 7.2. Integral definida 7.2.1. Propiedades y sentido geométrico de la integral definida 7.2.2. Integral definida con límite de integración superior (inferior) variable 7.2.3. Fórmula de Newton--Leibniz 7.2.4. Cambio de variables e integración por partes en la integral definida 7.3. Integrales impropias 7.3.1. Integrales impropias de primera especie 7.3.2. Integrales impropias de segunda especie 7.3.3. Reducción de las integrales impropias de segunda especie a integrales impropias de primera especie 7.3.4. Algunas integrales impropias 7.4. Aplicaciones geométricas de la integral definida 7.4.1. Cálculo del área de una figura plana 7.4.2. Cálculo de la longitud de una curva plana 7.4.3. Cálculo del volumen de un cuerpo 7.4.4. Cálculo del área de una superficie de revolución 8 Funciones de varias variables 8.1. Conceptos fundamentales. Límite de una función. Continuidad 8.1.1. Conceptos fundamentales 8.1.2. Límite de una función de varias variables 8.1.3. Funciones continuas de varias variables 8.2. Cálculo diferencial de funciones de varias variables 8.2.1. Derivadas parciales 8.2.2. Diferencial de una función 8.2.3. Diferenciación de una función compuesta 8.2.4. Diferenciación de una función implícita 8.2.5. Derivada direccional. Gradiente 8.2.6. Invariancia de la forma de la diferencial primera 8.2.7. Diferenciales de órdenes superiores 8.2.8. Fórmula de Taylor para las funciones de varias variables 8.2.9. Funciones implícitas 8.2.10. Aplicaciones. Dependencia de funciones 8.2.11. Cambio de variables en las expresiones diferenciales 8.2.12. Extremos de una función de varias variables 8.3. Integrales dobles y sus propiedades 8.3.1. Definición de integral doble 8.3.2. Aplicaciones geométricas de la integral doble 8.3.3. Propiedades de las integrales dobles 8.3.4. Cálculo de integrales dobles 8.3.5. Cambio de variables en las integrales dobles 8.4. Integrales triples y sus propiedades 8.4.1. Definición de integral triple 8.4.2. Integrales múltiples 8.4.3. Cálculo de integrales triples 8.4.4. Cambio de variables en las integrales triples 8.5. Integrales curvilíneas 8.5.1. Integrales curvilíneas de primera especie 8.5.2. Integrales curvilíneas de segunda especie 8.5.3. Relación entre las integrales curvilíneas de primera y segunda especies 8.6. Integrales de superficie 8.6.1. Superficies de una cara y superficies de dos caras 8.6.2. Área de una superficie 8.6.3. Integrales de superficie de primera especie 8.6.4. Existencia y cálculo de la integral de superficie de primera especie 8.6.5. Integrales de superficie de segunda especie 8.6.6. Existencia y cálculo de la integral de segunda especie 8.6.7. Relación de las integrales de superficie de primera y segunda especies 8.6.8. Aplicaciones geométricas de las integrales de superficie 8.7. Fórmula de Ostrogradski 8.7.1. Regiones simplemente conexas y regiones múltiplemente conexas 8.7.2. Fórmula de Ostrogradski 8.8. Fórmula de Stokes y fórmula de Green 8.8.1. Fórmula de Stokes 8.8.2. Fórmula de Green 8.9. Independencia de la integral curvilínea respecto al camino de integración 8.9.1. Caso de un camino de integración del plano 8.9.2. Caso de un camino de integración del espacio 8.10. Integrales dependientes de un parámetro 8.10.1. Integrales propias dependientes de un parámetro 8.10.2. Integrales impropias dependientes de un parámetro 8.10.3. Aplicación de las integrales impropias dependientes de un parámetro en el cálculo de integrales impropias 8.11. Integrales impropias múltiples 8.11.1. Integrales dobles impropias de funciones no acotadas 8.11.2. Integrales triples impropias de funciones no acotadas 8.11.3. Integrales dobles impropias por una región no acotada 8.12. Integrales múltiples dependientes de parámetros 8.12.1. Integrales múltiples propias dependientes de parámetros 8.12.2. Integrales múltiples impropias dependientes de parámetros 8.12.3. Potencial newtoniano 9 Series 9.1. Series numéricas y sus propiedades 9.1.1. Conceptos generales 9.1.2. Propiedades de las series convergentes 9.2. Criterios de convergencia de las series de signo constante 9.2.1. Criterios de comparación de series no negativas 9.2.2. Criterio de D'Alembert y criterio de Cauchy 9.3. Series de términos positivos y negativos. Convergencia condicional y convergencia absoluta 9.3.1. Criterio de Leibniz de convergencia de series alternadas 9.3.2. Series absolutamente convergentes y condicionalmente convergentes 9.4. Productos infinitos 9.5. Series y sucesiones funcionales 9.5.1. Sucesiones funcionales 9.5.2. Series funcionales 9.6. Series de potencias 9.6.1. Conceptos generales 9.6.2. Propiedades de las series de potencias 9.7. Serie de Taylor. Desarrollo de funciones en series de potencias 9.7.1. Serie de Taylor 9.7.2. Desarrollo de algunas funciones elementalesen series de potencias 9.8. Series e integrales de Fourier 9.8.1. Series de Fourier 9.8.2. Integral de Fourier 10 Funciones de variable compleja 10.1. Números complejos 10.1.1. Definición de números complejos. Operaciones con números complejos 10.1.2. Representación geométrica de los números complejos. Módulo y argumento de un número complejo 10.1.3. Potencia de un número complejo. Extracción de la raíz de un número complejo 10.1.4. Conjuntos de puntos del plano complejo 10.1.5. Límite de una sucesión de puntos del plano complejo 10.2. Funciones de variable compleja 10.2.1. Concepto de función 10.2.2. Límite de una función. Continuidad 10.3. Funciones analíticas 10.3.1. Derivada de una función. Condiciones de Cauchy--Riemann 10.3.2. Funciones analíticas 10.4. Integración de funciones de variable compleja 10.4.1. Definición de integral y sus propiedades 10.4.2. Teoremas y fórmulas integrales 10.5. Representación de las funciones analíticas en serie 10.5.1. Series funcionales. Series de potencias 10.5.2. Serie de Taylor 10.5.3. Serie de Laurent 10.5.4. Puntos singulares 10.5.5. Ceros y puntos singulares en el infinito 10.6. Residuos. Integrales de contorno 10.6.1. Conceptos fundamentales 10.6.2. Aplicación de los residuos en el cálculo de integrales definidas 10.7. Prolongación analítica 10.7.1. Concepto de prolongación analítica 10.7.2. Prolongación analítica con ayuda de series de potencias 10.7.3. Funciones analíticas multiformes 10.7.4. Prolongación analítica de una función analítica real 10.8. Superficies de Riemann. Puntos de ramificación 10.8.1. Conceptos generales 10.8.2. Condición de uniformidad de una función 10.8.3. Superficies de Riemann. Puntos de ramificación 10.8.4. Puntos de ramificación logarítmicos 10.8.5. Notas de conclusión 10.9. Transformación conforme 10.9.1. Concepto de transformación conforme. Propiedades 10.9.2. Ejemplos de transformaciones conformes 10.10. Algunas funciones elementales 10.10.1. Función potencial general 10.10.2. Funciones trigonométricas e hiperbólicas 10.10.3. Función exponencial y función logarítmica 11 Ecuaciones diferenciales 11.1. Ecuaciones diferenciales ordinarias 11.1.1. Conceptos fundamentales. Condiciones suficientes de existencia y unicidad de la solución 11.1.2. Ecuaciones diferenciales de primer orden 11.1.3. Ecuaciones diferenciales de órdenes superiores 11.1.4. Ecuaciones diferenciales lineales de orden n 11.1.5. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales 11.1.6. Teoría de la estabilidad 11.1.7. Método operacional de resolución de ecuaciones diferenciales 11.2. Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales 11.2.1. Conceptos y defi
niciones fundamentales 11.2.2. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden 11.2.3. Ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden 11.2.4. Métodos de resolución de las ecuaciones de tipo hiperbólico 11.2.5. Ecuaciones de tipo elíptico 11.2.6. Resolución de ecuaciones de tipo parabólico 12 Cálculo variacional 12.1. Introducción 12.2. Extremo de un funcional de una función de una variable independiente 12.3. Condición necesaria de extremo de un funcional. Ecuación de Euler--Lagrange 12.4. Condiciones suficientes de extremo débil 12.5. Problema con extremos fijos 12.6. Funcionales de varias funciones de una variable independiente 12.7. Funcionales dependientes de las derivadas de órdenes superiores 12.8. Funcionales de funciones de varias variables independientes 12.9. Extremos condicionales. Método de los multiplicadores de Lagrange 12.10. Problemas isoperimétricos 12.11. Métodos directos de resolución de problemas variacionales 13 Análisis vectorial 13.1. Funciones vectoriales de un argumento escalar 13.1.1. Función vectorial y su límite 13.1.2. Derivada 13.2. Campos escalares y vectoriales 13.2.1. Campo escalar 13.2.2. Campo vectorial 13.3. Derivada direccional de un campo escalar. Gradiente 13.4. Integrales curvilíneas. Campo potencial 13.4.1. Integrales curvilíneas 13.4.2. Campo potencial 13.5. Integrales de superficie y de volumen 13.5.1. Integrales de superficie 13.5.2. Integrales de volumen 13.6. Divergencia y rotacional de un campo vectorial. Derivada direccional 13.6.1. Divergencia 13.6.2. Rotacional 13.6.3. Derivada direccional 13.7. Fórmulas fundamentales del análisis vectorial 13.8. Fórmulas integrales 13.8.1. Fórmula de Ostrogradski 13.8.2. Corolarios de la fórmula de Ostrogradski 13.8.3. Fórmula de Stokes 13.9. Búsqueda del campo vectorial si se conocen el rotacional y el gradiente 13.10. Coordenadas cilíndricas y esféricas 13.11. Algunos conceptos del análisis tensorial 14 Geometría diferencial 14.1. Curvas en el plano 14.1.1. Métodos de definición de una curva en el plano. Longitud del arco de una curva 14.1.2. Tangente y normal a una curva plana 14.1.3. Puntos singulares de una curva 14.1.4. Asíntotas 14.1.5. Curvatura de una curva plana 14.1.6. Contacto de curvas planas 14.1.7. Curva discriminante y envolvente de una familia de curvas 14.1.8. Evoluta y evolvente 14.1.9. Trayectorias isogonales 14.2. Curvas en el espacio 14.2.1. Métodos de definición de una curva en el espacio. Longitud del arco de una curva 14.2.2. Elementos fundamentales de una curva espacial 14.2.3. Fórmulas de Frenet 14.3. Superficies 14.3.1. Conceptos generales 14.3.2. Plano tangente y plano normal de una superficie 14.3.3. Primera forma cuadrática de una superficie. Elemento de longitud de arco y elemento de área 14.3.4. Segunda forma cuadrática de una superficie. Curvatura de una curva en una superficie 14.3.5. Curvaturas principales. Curvatura de Gauss. Curvatura media de una superficie 14.3.6. Clasificación de los puntos de una superficie 14.3.7. Curvas y direcciones especiales en una superficie 14.3.8. Relación entre la curvatura media y la variación del área de una superficie 14.3.9. Algunos tipos de superficies especiales 14.4. Fórmulas de Gauss, Weingarten y Gauss--Bonnet 15 Teoría de probabilidades y estadística matemática 15.1. Teoría de probabilidades 15.1.1. Experimentos y sucesos 15.1.2. Definición clásica de probabilidad 15.1.3. Definición estadística de probabilidad 15.1.4. Definición geométrica de probabilidad 15.1.5. Álgebra de sucesos 15.1.6. Reglas de la suma y el producto de probabilidades 15.1.7. Fórmula de probabilidad total. Fórmula de Bayes 15.1.8. Repetición de experimentos 15.1.9. Variables aleatorias. Variables aleatorias discretas 15.1.10. Variables aleatorias continuas 15.1.11. Valor esperado y varianza de una variable aleatoria discreta 15.1.12. Valor esperado y varianza de una variable aleatoria continua 15.1.13. Variables aleatorias multidimensionales 15.1.14. Ley de los grandes números 15.2. Estadística matemática 15.2.1. Método de muestreo 15.2.2. Polígono e histograma 15.2.3. Distribución muestral (empírica) 15.2.4. Estimadores puntuales de los parámetros de un conjunto estadístico 15.2.5. Estimación por intervalos para los parámetros de un conjunto estadístico 15.2.6. Estimación de la probabilidad buscada según la frecuencia relativa 15.2.7. Análisis de la correlación y la regresión según los resultados de las muestras 15.2.8. Pruebas estadísticas de hipótesis 15.2.9. Tablas 16Métodos numéricos 16.1. Números aproximados y operaciones con ellos 16.2. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales 16.2.1. Método de Gauss 16.2.2. Método de Gauss--Jordan 16.3. Resolución de ecuaciones no lineales 16.3.1. Método gráfico de resolución de ecuaciones 16.3.2. Método de bisección 16.3.3. Método de las cuerdas 16.3.4. Método de las tangentes (método de Newton) 16.3.5. Método combinado de las cuerdas y las tangentes 16.3.6. Método de iteración simple (método de aproximaciones sucesivas) 16.4. Cálculo de valores de funciones 16.4.1. Fórmulas aproximadas 16.4.2. Cálculo de los valores de un polinomio según el algoritmo de Horner 16.4.3. Cálculo de los valores de una función analítica 16.5. Interpolación de funciones 16.5.1. Planteamiento del problema de interpolación 16.5.2. Polinomio interpolante de Lagrange 16.5.3. Interpolación lineal 16.5.4. Polinomio interpolante de Lagrange con nodos equiespaciados 16.5.5. Polinomios interpolantes de Newton 16.5.6. Derivación numérica 16.6. Aproximación de funciones 16.6.1. Planteamiento del problema de aproximación de funciones 16.6.2. Aproximación uniforme de funciones 16.6.3. Método de los mínimos cuadrados 16.6.4. Splines 16.7. Cálculo aproximado de integrales 16.7.1. Cálculo de integrales mediante series 16.7.2. Fórmulas de integración numérica 16.7.3. Método de Monte Carlo 16.8. Resolución numérica de ecuaciones diferenciales 16.8.1. Método de Euler 16.8.2. Método de Runge--Kutta 16.8.3. Método de Adams 16.8.4. Problemas de contorno para ecuaciones diferenciales ordinarias 17 Conceptos fundamentales de la lógica matemática y la teoría de conjuntos 17.1. Álgebra de la lógica (álgebra de proposiciones) 17.1.1. Conceptos fundamentales 17.1.2. Operaciones lógicas 17.1.3. Fórmulas y funciones del álgebra de proposiciones 17.1.4. Lógica de predicados 17.1.5. Método de inducción completa 17.2. Fundamentos de la teoría de conjuntos 17.2.1. Conceptos fundamentales 17.2.2. Operaciones con conjuntos 17.2.3. Potencia de un conjunto 17.2.4. Aplicaciones de conjuntos Índice de autores Índice de materias Notaciones fundamentales
El manual abarca todos los temas de los que constan los cursos de matemáticas superiores, desde el análisis matemático y el álgebra hasta la lógica matemática y la geometría diferencial, incluyendo la geometría analítica, la teoría de funciones de variable compleja, la teoría de ecuaciones diferenciales, el cálculo variacional, el análisis vectorial y tensorial, la teoría de probabilidades, la estadística matemática, la teoría de conjuntos y los métodos numéricos. Además del material teórico, el manual contiene más de 500 ejemplos con soluciones detalladas. El método de exposición y el volumen de la información contenida hacen de este manual una excelente guía para el estudio de las matemáticas superiores y, a su vez, colocan esta obra al nivel de los más famosos manuales (Bronshtéin y Semendiáev, Korn, Vygodskii, etc). Este libro está dirigido a los estudiantes universitarios, estudiantes de posgrado, profesores de centros de enseñanza universitaria y técnica superior.Índice1 Números reales. Álgebra 1.1. Números reales 1.1.1. Propiedades de los números reales 1.1.2. Continuidad del conjunto de los números reales 1.1.3. Valor absoluto 1.1.4. Constantes utilizadas frecuentemente 1.1.5. Representación geométrica de números y conjuntos numéricos 1.1.6. Cotas de conjuntos numéricos 1.2. Nociones de álgebra elemental. Logaritmos. Progresión aritmética y progresión geométrica 1.2.1. Potencias y raíces 1.2.2. Fórmulas utilizadas frecuentemente 1.2.3. Valores medios 1.2.4. Algunas desigualdades notables 1.2.5. Algunas sumas finitas notables 1.2.6. Proporciones 1.2.7. División de polinomios 1.2.8. Ecuaciones algebraicas 1.2.9. Logaritmos 1.2.10. Progresión aritmética 1.2.11. Progresión geométrica 1.3. Matrices y determinantes. Sistemas de ecuaciones lineales 1.3.1. Matrices y determinantes 1.3.2. Operaciones con matrices 1.3.3. Rango de una matriz 1.3.4. Matrices con propiedades especiales 1.3.5. Sistema de ecuaciones lineales 2 Sistemas de coordenadas. Álgebra vectorial. Tensores. Espacios vectoriales 2.1. Sistemas de coordenadas rectangulares 2.1.1. Sistema de coordenadas rectangulares en el plano 2.1.2. Sistema de coordenadas rectangulares en el espacio 2.2. Sistemas de coordenadas curvilíneas 2.2.1. Coordenadas polares 2.2.2. Sistemas de coordenadas curvilíneas en el espacio 2.3. Álgebra vectorial 2.3.1. Conceptos fundamentales 2.3.2. Multiplicación de un vector por un número y adición de vectores 2.3.3. Producto escalar de vectores 2.3.4. Producto vectorial 2.3.5. Producto mixto 2.4. Cambio de coordenadas 2.4.1. Transporte paralelo de un sistema de coordenadas 2.4.2. Giro de un sistema de coordenadas 2.5. Tensores 2.5.1. Conceptos fundamentales 2.5.2. Álgebra tensorial 2.5.3. Propiedades de los tensores simétricos de segundo rango 2.6. Espacios vectoriales 2.6.1. Definición de espacio vectorial 2.6.2. Dependencia lineal de vectores 2.6.3. Base de un espacio. Coordenadas de un vector 2.6.4. Espacios vectoriales euclídeos 2.7. Espacio de Hilbert 2.8. Transformación de las coordenadas de un vector al cambiar de base 2.9. Aplicaciones lineales (operadores lineales) 2.10. Valores propios y vectores propios de una matriz 2.11. Formas cuadráticas 2.11.1. Reducción de una forma cuadrática a la forma canónica 2.11.2. Clasificación de las formas cuadráticas 2.11.3. Reducción simultánea de dos formas cuadráticas a sumas de cuadrados 3 Geometría analítica 3.1. Geometría analítica en el plano 3.1.1. Método de coordenadas 3.1.2. Fórmulas fundamentales 3.1.3. Transformación de coordenadas cartesianas 3.1.4. La recta 3.1.5. Posición relativa de dos rectas 3.1.6. Curvas de segundo orden (secciones cónicas) 3.2. Geometría analítica en el espacio 3.2.1. Ecuación de una superficie y ecuación de una línea 3.2.2. Fórmulas fundamentales en coordenadas cartesianas 3.2.3. El plano 3.2.4. La recta 3.2.5. Posición relativa de puntos, rectas y planos 3.2.6. Superficies de segundo orden 4Conceptos fundamentales del análisis matemático 4.1. Función real de una variable real 4.1.1. Definición de función 4.1.2. Métodos de definición de una función 4.1.3. Propiedades de las funciones. Funciones con propiedades especiales 4.2. Sucesiones numéricas 4.2.1. Límite de una sucesión numérica 4.2.2. Criterios de existencia del límite 4.2.3. Propiedades fundamentales de las sucesiones convergentes 4.2.4. El número e 4.2.5. Sucesiones infinitesimales y sucesiones infinitas 4.2.6. Indeterminaciones 4.2.7. Punto límite de una sucesión 4.3. Límite de una función 4.3.1. Definición de límite 4.3.2. Criterio de Cauchy de existencia del límite finito de una función 4.3.3. Límites unilaterales 4.3.4. Funciones infinitesimales y funciones infinitas 4.3.5. Operaciones aritméticas con límites 4.4. Relaciones asintóticas entre funciones 4.5. Continuidad de una función 4.6. Puntos de discontinuidad de una función. Clasificación de los puntos de discontinuidad 5 Cálculo diferencial de funciones de una variable 5.1. Derivada. Interpretación geométrica de la derivada 5.1.1. Definición de derivada 5.1.2. Interpretación geométrica de la derivada 5.1.3. Derivadas unilaterales de una función 5.1.4. Reglas de derivación 5.1.5. Derivadas de algunas funciones elementales 5.1.6. Derivada infinita 5.1.7. Derivación de funciones implícitas 5.2. Diferencial de una función 5.3. Derivada de la función inversa 5.4. Derivación de una función parametrizada 5.5. Derivadas y diferenciales de órdenes superiores 5.5.1. Derivadas de órdenes superiores 5.5.2. Fórmula de Leibniz 5.5.3. Diferenciales de órdenes superiores 5.5.4. Invariancia de la forma de la diferencial primera 5.6. Extremos. Teoremas de Fermat, Rolle, Lagrange y Cauchy 5.6.1. Extremo 5.6.2. Teorema de Fermat (condición necesaria de extremo local de una función derivable) 5.6.3. Teorema de Rolle 5.6.4. Teorema de Lagrange 5.6.5. Teorema de Cauchy 5.6.6. Corolarios del teorema de Lagrange 5.6.7. Derivada de una función par (impar) 5.7. Fórmula de Taylor. Cálculo de límites 5.8. Eliminación de indeterminaciones. Regla de L'H^opital 5.8.1. Eliminación de indeterminaciones del tipo 0/0 5.8.2. Eliminación de indeterminaciones del tipo oo/oo 5.8.3. Eliminación de indeterminaciones de los tipos 0 oo, oo--oo, 00, 1oo, oo0 5.9. Crecimiento y decrecimiento de una función. Convexidad y concavidad de una curva. Puntos de inflexión 5.9.1. Condición suficiente de crecimiento (decrecimiento) de una función 5.9.2. Convexidad y concavidad de una curva 5.9.3. Puntos de inflexión 5.10. Búsqueda de máximos y mínimos de una función 5.10.1. Condiciones necesarias de existencia de un extremo (máximo o mínimo) local de una función 5.10.2. Condiciones suficientes de existencia de un extremo local estricto 5.10.3. Búsqueda de extremos absolutos 5.11. Asíntotas del gráfico de una función 5.12. Construcción del gráfico de una función 6 Funciones elementales 6.1. Función exponencial 6.2. Función logarítmica 6.3. Funciones hiperbólicas 6.3.1. Seno hiperbólico 6.3.2. Coseno hiperbólico 6.3.3. Tangente hiperbólica 6.3.4. Cotangente hiperbólica 6.3.5. Funciones hiperbólicas inversas 6.3.6. Principales relaciones entre las funciones hiperbólicas 6.4. Función potencial 6.5. Funciones trigonométricas 6.5.1. Definición de las funciones trigonométricas 6.5.2. Propiedades de las funciones trigonométricas 6.5.3. Valores de las funciones trigonométricas para valores notables del argumento 6.5.4. Fórmulas de reducción 6.5.5. Relaciones entre funciones trigonométricas de un mismo argumento 6.5.6. Funciones trigonométricas del ángulo mitad y de ángulos múltiplos 6.5.7. Funciones trigonométricas de la suma y diferencia de dos argumentos 6.5.8. Suma, diferencia y producto de funciones trigonométricas 6.5.9. Potencias de funciones trigonométricas 6.5.10. Funciones trigonométricas inversas 6.5.11. Ecuaciones trigonométricas 7 Cálculo integral de funciones de una variable 7.1. Primitiva. Integral indefinida 7.1.1. Función primitiva 7.1.2. Integral indefinida 7.1.3. Propiedades de la integral indefinida 7.1.4. Tabla de integrales inmediatas 7.1.5. Métodos elementales de integración 7.1.6. Integración de funciones racionales 7.1.7. Integración de algunas expresiones irracionales 7.1.8. Integración de funciones trigonométricas, exponenciales e hiperbólicas 7.2. Integral definida 7.2.1. Propiedades y sentido geométrico de la integral definida 7.2.2. Integral definida con límite de integración superior (inferior) variable 7.2.3. Fórmula de Newton--Leibniz 7.2.4. Cambio de variables e integración por partes en la integral definida 7.3. Integrales impropias 7.3.1. Integrales impropias de primera especie 7.3.2. Integrales impropias de segunda especie 7.3.3. Reducción de las integrales impropias de segunda especie a integrales impropias de primera especie 7.3.4. Algunas integrales impropias 7.4. Aplicaciones geométricas de la integral definida 7.4.1. Cálculo del área de una figura plana 7.4.2. Cálculo de la longitud de una curva plana 7.4.3. Cálculo del volumen de un cuerpo 7.4.4. Cálculo del área de una superficie de revolución 8 Funciones de varias variables 8.1. Conceptos fundamentales. Límite de una función. Continuidad 8.1.1. Conceptos fundamentales 8.1.2. Límite de una función de varias variables 8.1.3. Funciones continuas de varias variables 8.2. Cálculo diferencial de funciones de varias variables 8.2.1. Derivadas parciales 8.2.2. Diferencial de una función 8.2.3. Diferenciación de una función compuesta 8.2.4. Diferenciación de una función implícita 8.2.5. Derivada direccional. Gradiente 8.2.6. Invariancia de la forma de la diferencial primera 8.2.7. Diferenciales de órdenes superiores 8.2.8. Fórmula de Taylor para las funciones de varias variables 8.2.9. Funciones implícitas 8.2.10. Aplicaciones. Dependencia de funciones 8.2.11. Cambio de variables en las expresiones diferenciales 8.2.12. Extremos de una función de varias variables 8.3. Integrales dobles y sus propiedades 8.3.1. Definición de integral doble 8.3.2. Aplicaciones geométricas de la integral doble 8.3.3. Propiedades de las integrales dobles 8.3.4. Cálculo de integrales dobles 8.3.5. Cambio de variables en las integrales dobles 8.4. Integrales triples y sus propiedades 8.4.1. Definición de integral triple 8.4.2. Integrales múltiples 8.4.3. Cálculo de integrales triples 8.4.4. Cambio de variables en las integrales triples 8.5. Integrales curvilíneas 8.5.1. Integrales curvilíneas de primera especie 8.5.2. Integrales curvilíneas de segunda especie 8.5.3. Relación entre las integrales curvilíneas de primera y segunda especies 8.6. Integrales de superficie 8.6.1. Superficies de una cara y superficies de dos caras 8.6.2. Área de una superficie 8.6.3. Integrales de superficie de primera especie 8.6.4. Existencia y cálculo de la integral de superficie de primera especie 8.6.5. Integrales de superficie de segunda especie 8.6.6. Existencia y cálculo de la integral de segunda especie 8.6.7. Relación de las integrales de superficie de primera y segunda especies 8.6.8. Aplicaciones geométricas de las integrales de superficie 8.7. Fórmula de Ostrogradski 8.7.1. Regiones simplemente conexas y regiones múltiplemente conexas 8.7.2. Fórmula de Ostrogradski 8.8. Fórmula de Stokes y fórmula de Green 8.8.1. Fórmula de Stokes 8.8.2. Fórmula de Green 8.9. Independencia de la integral curvilínea respecto al camino de integración 8.9.1. Caso de un camino de integración del plano 8.9.2. Caso de un camino de integración del espacio 8.10. Integrales dependientes de un parámetro 8.10.1. Integrales propias dependientes de un parámetro 8.10.2. Integrales impropias dependientes de un parámetro 8.10.3. Aplicación de las integrales impropias dependientes de un parámetro en el cálculo de integrales impropias 8.11. Integrales impropias múltiples 8.11.1. Integrales dobles impropias de funciones no acotadas 8.11.2. Integrales triples impropias de funciones no acotadas 8.11.3. Integrales dobles impropias por una región no acotada 8.12. Integrales múltiples dependientes de parámetros 8.12.1. Integrales múltiples propias dependientes de parámetros 8.12.2. Integrales múltiples impropias dependientes de parámetros 8.12.3. Potencial newtoniano 9 Series 9.1. Series numéricas y sus propiedades 9.1.1. Conceptos generales 9.1.2. Propiedades de las series convergentes 9.2. Criterios de convergencia de las series de signo constante 9.2.1. Criterios de comparación de series no negativas 9.2.2. Criterio de D'Alembert y criterio de Cauchy 9.3. Series de términos positivos y negativos. Convergencia condicional y convergencia absoluta 9.3.1. Criterio de Leibniz de convergencia de series alternadas 9.3.2. Series absolutamente convergentes y condicionalmente convergentes 9.4. Productos infinitos 9.5. Series y sucesiones funcionales 9.5.1. Sucesiones funcionales 9.5.2. Series funcionales 9.6. Series de potencias 9.6.1. Conceptos generales 9.6.2. Propiedades de las series de potencias 9.7. Serie de Taylor. Desarrollo de funciones en series de potencias 9.7.1. Serie de Taylor 9.7.2. Desarrollo de algunas funciones elementalesen series de potencias 9.8. Series e integrales de Fourier 9.8.1. Series de Fourier 9.8.2. Integral de Fourier 10 Funciones de variable compleja 10.1. Números complejos 10.1.1. Definición de números complejos. Operaciones con números complejos 10.1.2. Representación geométrica de los números complejos. Módulo y argumento de un número complejo 10.1.3. Potencia de un número complejo. Extracción de la raíz de un número complejo 10.1.4. Conjuntos de puntos del plano complejo 10.1.5. Límite de una sucesión de puntos del plano complejo 10.2. Funciones de variable compleja 10.2.1. Concepto de función 10.2.2. Límite de una función. Continuidad 10.3. Funciones analíticas 10.3.1. Derivada de una función. Condiciones de Cauchy--Riemann 10.3.2. Funciones analíticas 10.4. Integración de funciones de variable compleja 10.4.1. Definición de integral y sus propiedades 10.4.2. Teoremas y fórmulas integrales 10.5. Representación de las funciones analíticas en serie 10.5.1. Series funcionales. Series de potencias 10.5.2. Serie de Taylor 10.5.3. Serie de Laurent 10.5.4. Puntos singulares 10.5.5. Ceros y puntos singulares en el infinito 10.6. Residuos. Integrales de contorno 10.6.1. Conceptos fundamentales 10.6.2. Aplicación de los residuos en el cálculo de integrales definidas 10.7. Prolongación analítica 10.7.1. Concepto de prolongación analítica 10.7.2. Prolongación analítica con ayuda de series de potencias 10.7.3. Funciones analíticas multiformes 10.7.4. Prolongación analítica de una función analítica real 10.8. Superficies de Riemann. Puntos de ramificación 10.8.1. Conceptos generales 10.8.2. Condición de uniformidad de una función 10.8.3. Superficies de Riemann. Puntos de ramificación 10.8.4. Puntos de ramificación logarítmicos 10.8.5. Notas de conclusión 10.9. Transformación conforme 10.9.1. Concepto de transformación conforme. Propiedades 10.9.2. Ejemplos de transformaciones conformes 10.10. Algunas funciones elementales 10.10.1. Función potencial general 10.10.2. Funciones trigonométricas e hiperbólicas 10.10.3. Función exponencial y función logarítmica 11 Ecuaciones diferenciales 11.1. Ecuaciones diferenciales ordinarias 11.1.1. Conceptos fundamentales. Condiciones suficientes de existencia y unicidad de la solución 11.1.2. Ecuaciones diferenciales de primer orden 11.1.3. Ecuaciones diferenciales de órdenes superiores 11.1.4. Ecuaciones diferenciales lineales de orden n 11.1.5. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales 11.1.6. Teoría de la estabilidad 11.1.7. Método operacional de resolución de ecuaciones diferenciales 11.2. Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales 11.2.1. Conceptos y defi
niciones fundamentales 11.2.2. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden 11.2.3. Ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden 11.2.4. Métodos de resolución de las ecuaciones de tipo hiperbólico 11.2.5. Ecuaciones de tipo elíptico 11.2.6. Resolución de ecuaciones de tipo parabólico 12 Cálculo variacional 12.1. Introducción 12.2. Extremo de un funcional de una función de una variable independiente 12.3. Condición necesaria de extremo de un funcional. Ecuación de Euler--Lagrange 12.4. Condiciones suficientes de extremo débil 12.5. Problema con extremos fijos 12.6. Funcionales de varias funciones de una variable independiente 12.7. Funcionales dependientes de las derivadas de órdenes superiores 12.8. Funcionales de funciones de varias variables independientes 12.9. Extremos condicionales. Método de los multiplicadores de Lagrange 12.10. Problemas isoperimétricos 12.11. Métodos directos de resolución de problemas variacionales 13 Análisis vectorial 13.1. Funciones vectoriales de un argumento escalar 13.1.1. Función vectorial y su límite 13.1.2. Derivada 13.2. Campos escalares y vectoriales 13.2.1. Campo escalar 13.2.2. Campo vectorial 13.3. Derivada direccional de un campo escalar. Gradiente 13.4. Integrales curvilíneas. Campo potencial 13.4.1. Integrales curvilíneas 13.4.2. Campo potencial 13.5. Integrales de superficie y de volumen 13.5.1. Integrales de superficie 13.5.2. Integrales de volumen 13.6. Divergencia y rotacional de un campo vectorial. Derivada direccional 13.6.1. Divergencia 13.6.2. Rotacional 13.6.3. Derivada direccional 13.7. Fórmulas fundamentales del análisis vectorial 13.8. Fórmulas integrales 13.8.1. Fórmula de Ostrogradski 13.8.2. Corolarios de la fórmula de Ostrogradski 13.8.3. Fórmula de Stokes 13.9. Búsqueda del campo vectorial si se conocen el rotacional y el gradiente 13.10. Coordenadas cilíndricas y esféricas 13.11. Algunos conceptos del análisis tensorial 14 Geometría diferencial 14.1. Curvas en el plano 14.1.1. Métodos de definición de una curva en el plano. Longitud del arco de una curva 14.1.2. Tangente y normal a una curva plana 14.1.3. Puntos singulares de una curva 14.1.4. Asíntotas 14.1.5. Curvatura de una curva plana 14.1.6. Contacto de curvas planas 14.1.7. Curva discriminante y envolvente de una familia de curvas 14.1.8. Evoluta y evolvente 14.1.9. Trayectorias isogonales 14.2. Curvas en el espacio 14.2.1. Métodos de definición de una curva en el espacio. Longitud del arco de una curva 14.2.2. Elementos fundamentales de una curva espacial 14.2.3. Fórmulas de Frenet 14.3. Superficies 14.3.1. Conceptos generales 14.3.2. Plano tangente y plano normal de una superficie 14.3.3. Primera forma cuadrática de una superficie. Elemento de longitud de arco y elemento de área 14.3.4. Segunda forma cuadrática de una superficie. Curvatura de una curva en una superficie 14.3.5. Curvaturas principales. Curvatura de Gauss. Curvatura media de una superficie 14.3.6. Clasificación de los puntos de una superficie 14.3.7. Curvas y direcciones especiales en una superficie 14.3.8. Relación entre la curvatura media y la variación del área de una superficie 14.3.9. Algunos tipos de superficies especiales 14.4. Fórmulas de Gauss, Weingarten y Gauss--Bonnet 15 Teoría de probabilidades y estadística matemática 15.1. Teoría de probabilidades 15.1.1. Experimentos y sucesos 15.1.2. Definición clásica de probabilidad 15.1.3. Definición estadística de probabilidad 15.1.4. Definición geométrica de probabilidad 15.1.5. Álgebra de sucesos 15.1.6. Reglas de la suma y el producto de probabilidades 15.1.7. Fórmula de probabilidad total. Fórmula de Bayes 15.1.8. Repetición de experimentos 15.1.9. Variables aleatorias. Variables aleatorias discretas 15.1.10. Variables aleatorias continuas 15.1.11. Valor esperado y varianza de una variable aleatoria discreta 15.1.12. Valor esperado y varianza de una variable aleatoria continua 15.1.13. Variables aleatorias multidimensionales 15.1.14. Ley de los grandes números 15.2. Estadística matemática 15.2.1. Método de muestreo 15.2.2. Polígono e histograma 15.2.3. Distribución muestral (empírica) 15.2.4. Estimadores puntuales de los parámetros de un conjunto estadístico 15.2.5. Estimación por intervalos para los parámetros de un conjunto estadístico 15.2.6. Estimación de la probabilidad buscada según la frecuencia relativa 15.2.7. Análisis de la correlación y la regresión según los resultados de las muestras 15.2.8. Pruebas estadísticas de hipótesis 15.2.9. Tablas 16Métodos numéricos 16.1. Números aproximados y operaciones con ellos 16.2. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales 16.2.1. Método de Gauss 16.2.2. Método de Gauss--Jordan 16.3. Resolución de ecuaciones no lineales 16.3.1. Método gráfico de resolución de ecuaciones 16.3.2. Método de bisección 16.3.3. Método de las cuerdas 16.3.4. Método de las tangentes (método de Newton) 16.3.5. Método combinado de las cuerdas y las tangentes 16.3.6. Método de iteración simple (método de aproximaciones sucesivas) 16.4. Cálculo de valores de funciones 16.4.1. Fórmulas aproximadas 16.4.2. Cálculo de los valores de un polinomio según el algoritmo de Horner 16.4.3. Cálculo de los valores de una función analítica 16.5. Interpolación de funciones 16.5.1. Planteamiento del problema de interpolación 16.5.2. Polinomio interpolante de Lagrange 16.5.3. Interpolación lineal 16.5.4. Polinomio interpolante de Lagrange con nodos equiespaciados 16.5.5. Polinomios interpolantes de Newton 16.5.6. Derivación numérica 16.6. Aproximación de funciones 16.6.1. Planteamiento del problema de aproximación de funciones 16.6.2. Aproximación uniforme de funciones 16.6.3. Método de los mínimos cuadrados 16.6.4. Splines 16.7. Cálculo aproximado de integrales 16.7.1. Cálculo de integrales mediante series 16.7.2. Fórmulas de integración numérica 16.7.3. Método de Monte Carlo 16.8. Resolución numérica de ecuaciones diferenciales 16.8.1. Método de Euler 16.8.2. Método de Runge--Kutta 16.8.3. Método de Adams 16.8.4. Problemas de contorno para ecuaciones diferenciales ordinarias 17 Conceptos fundamentales de la lógica matemática y la teoría de conjuntos 17.1. Álgebra de la lógica (álgebra de proposiciones) 17.1.1. Conceptos fundamentales 17.1.2. Operaciones lógicas 17.1.3. Fórmulas y funciones del álgebra de proposiciones 17.1.4. Lógica de predicados 17.1.5. Método de inducción completa 17.2. Fundamentos de la teoría de conjuntos 17.2.1. Conceptos fundamentales 17.2.2. Operaciones con conjuntos 17.2.3. Potencia de un conjunto 17.2.4. Aplicaciones de conjuntos Índice de autores Índice de materias Notaciones fundamentales 